نسبت قوانین منطق با قوانین طبیعت

پیتر میتل اشتات، برگردان: علیرضا محمدی

آیا قوانین منطق قوانین طبیعت هستند؟ اگر قوانین منطق برای همه‌ مـوضوعات‌ قـابل‌ اجـرا و کاربرد هستند پس قوانین طبیعت نیز هستند.رویکردهای گوناگونی را می‌توان راجع به‌ این قضیه ابراز‌ داشت.بحث درباره ایـنکه قوانین منطق را جعل و اختراع می‌کنیم یا کشف، می‌تواند تا‌ حدودی راهنمای این باشد‌ کـه‌ این قوانین جزء قـوانین طـبیعت هستند یا خیر؟ پاسخ ایجابی و سلبی به این سوال افقهای متمایزی را پیش روی اندیشمند می‌گشاید و ربط و نسبتی جدید بین او و جهان برقرار می‌کند.در‌ این مقاله نویسنده سعی در اثبات آن دارد که قوانین منطق،قوانین طبیعت هستند و ایـن کار را با شاهد گرفتن از کارایی قواعد و اصول‌ منطقی در طبیعت انجام می‌دهد.

۱- استدلال ابتدایی

اگر قوانین منطق قابل اجرا برای تمام موضوعات هستند،هرآنچه‌ که قابل اجرا برای موضوعات مختلف هست بوسیله علوم طـبیعی مـورد بحث قرار می‌گیرد. یک قانون در صورتی برای برخی‌ از‌ موضوعات قابل اجرا است که‌ همه موضوعات حوزه مربوطه،قانون موردنظر را برآورده سازند.حال‌ اگر قوانین منطق به وسیله همه‌ی موضوعات برآورده می‌شوند هرآنچه‌ که به وسیله موضوعی اشباع شـود،آنگاه بـه وسیله علوم‌ طبیعی‌ نیز همان‌ معامله و رفتار با آن خواهد شد.ضمن آن‌که قوانینی که به وسیله‌ی‌ موضوعات مختلف برآورده می‌شوند و به وسیله علوم طبیعی نیز برآورده‌ می‌شوند قوانین طبیعت نامیده می‌شوند.در نتیجه:اگر قـوانین‌ مـنطق‌ برای‌ همه‌ موضوعات قابل اجرا و کاربرد‌ هستند‌ ازاین‌رو‌ قوانین منطق،قوانین‌ طبیعت هستند.حال اینکه مطابق با نظر کانت نیز قوانین منطق قابل اجرا برای همه موضوعات هستند.

بنابراین:قوانین منطق قوانین طبیعت هم هستند.

۱-۲- اگر منطق‌ عمومی‌ترین‌ عـلم تـمام عـلوم است آنگاه جهان گفتمان آن‌ (UL)‌ شـامل جـهان گفتگوهای علوم دیگر هم می‌شود و هم‌چنین شامل‌ علوم طبیعی نیز می‌شود (UN) ، یعنی UN-<UL این مسئله نشان‌ می‌دهد که‌ قوانین‌ منطق که بر عناصر (UL) حـکومت مـی‌کنند بـر عناصر (UN)‌ نیز حکومت می‌کنند. ضمن اینکه قوانینی که بر عـناصر (UN) حـکومت می‌کنند قوانین طبیعت نامیده می‌شوند.در نتیجه اگر منطق عمومی‌ترین علم‌ است‌ آنگاه‌ قوانین‌ منطق قوانین طبیعت هستند ازاین‌رو آنها بر عـناصر (UN) نـیز حکمرانی مـی‌کنند.حال‌ همانگونه‌که‌ لایب نیتز و گودل می‌گویند منطق‌ عمومی‌ترین علم است:”منطق عمومی‌ترین عـلم است‌”و”منطق یک‌ علم پیشینی نسبت به سایر‌ علوم‌ است‌ که شامل عقاید و اصول پایه‌ای‌ همه علوم است‌”.

بنابراین:قوانین منطق قوانین طبیعت هـم‌ هستند.

۳-۱- اگر قـوانین‌ مـنطق می‌توانند به وسیله ادراک حسی توجیه و یا رد شوند و بوسیله واقعیات محتمل‌ مـورد‌ تـجدید‌ نظر قرار بگیرند آنگاه آنها بیشتر قوانین تفکر یا قوانین فرآیندهای تفکر هستند و نه‌ آنطورکه‌ فرگه‌ گفت-قوانین صدق‌.

اگر آنـها قـوانین تـفکر یا روندهای تفکر هستند،پس قوانین طبیعت‌ هستند.حال همانطورکه گودل‌ از‌ طرف‌ راسل می‌گوید قـوانین مـنطق‌ می‌توانند بـوسیله‌ی ادراک حسی توجیه شوند: او [راسل‌] اصول موضوعه‌ منطق و ریاضیات را با‌ قوانین‌ طبیعت مقایسه می‌کند و سعی در توجیه‌ شواهد منطق بـا ادراک حـسی دارد،بـه طوری‌ که‌ اصول‌ موضوعه لازم‌ نیست ضرورتا فی نفسه بدیهی باشند،بلکه توجیه آنها بر ایـن واقـعیت تکیه‌ داردکه ادراک حسی‌ این‌ را ممکن می‌کند که آنها مستدل شوند‌.

به علاوه همان‌طورکه کواین می‌گوید قـوانین‌ مـنطق‌ مـی‌توانند‌ اصلاح‌ و یا کنار گذاشته شوند مانند آنچه که یک تئوری فیزیکی،دیگری را کنار می‌گذارد:

از طرف دیگر،به‌ واسـطه‌ی‌ هـمان‌ مثال،هیچ جمله‌ای از بازنگری‌ مصون نیست و حتی بازنگری قانون منطقی اصل طرد‌ شق‌ ثالث بـه عـنوان‌ وسیله‌ای جـهت ساده کردن مکانیک کوانتومی پیشنهاد شده است.و چه‌ تفاوتی در اصول بین چنین‌ تغییری‌ با تغییری کـه در آن کـپلر،بطلمیوس و انیشتین،نیوتن و یا داروین،ارسطو را کنار‌ زدند،وجود‌ دارد؟

بنابراین:قوانین منطق قوانین طبیعت هستند.

۱-۴- هر زبان صوری‌ علم‌ شـامل‌ عـمومی‌ترین قـوانین منطق می‌باشد.صدق‌ می‌تواند به نسبت این‌ قوانین‌ عمومی منطق بوسیله توصیف عدم تغییر آنها در قبال تغییر ابـتدایی(اتمیک)جملات (با مـحولاتی کـه در‌ آنها‌ وجود دارد) با کمک تبدیل و تعویض‌ معرفی‌ شود:بنابراین،یک صدق‌ منطق‌ به‌ عنوان‌ یک جـمله‌ای قـابل تعریف است که‌ ما‌ را به صدق می‌رساند وقتی جملات را با جملات ساده‌ای تعویض کنیم. حال از این‌رو قوانین‌ منطق (یا‌ صـدق‌های مـنطقی) عمومی هستند و آنها می‌توانند‌ در هر حوزه‌ای از علم‌ خارج‌ از منطق،به کار گرفته شوند‌ مثال‌ها‌ و مـوارد مـورد تعویض می‌توانند از ریاضیات،فیزیک و زیست‌شناسی و غیره گرفته‌ شود ولی چنین‌ مـثال‌های‌ تـعویض شـده، قید و بند قوانین منطق را‌ برطبق‌ محدودیت‌های‌ استدلال‌ ریاضی و یا‌ مـحدودیت‌های‌ اسـتدلال طبیعی مورد نظر قرار‌

می‌دهد.این‌ مسأله از دو مثال زیر می‌تواند فهمیده شود:

I) در کاربرد یک دامنه مـتناهی،به‌ صـورت‌ شهودی فهمیده می‌شود، که PV~P رد می‌شود‌ زیـرا‌ نـه ~EXFX‌ در‌ شهود‌ حـفظ و نـگهداری مـی‌شوند و‌ نه ~EXFX حفظ و نگهداری می‌شود هیچ دلیـل واحـدی برای اینکه به‌ ازای هر n,~fn وجود‌ دارد،در‌ دست نیست.

(iiدر اصول فیزیک‌ کلاسیک:هر‌ دو‌ خصوصیت (کمی) خارج‌ از هر‌ مـشاهده‌گر مـی‌تواند به‌ طور‌ همزمان مشاهده شود (اندازه‌گیری شـود) در حالیکه در فیزیک کوانتوم ایـن مـسئله حفظ نمی‌شود و ترکیب کردن‌ گزاره‌های مـختلف (و‌ خـصوصیات)با‌ یکدیگر‌ با هر ادات منطقی محدود شده است.هرچند به‌طور‌ کلی‌ از‌ نظر‌ قوانین‌ منطقی‌ این اجـازه داده شـده‌ است (صدق‌های منطقی از نظر کواین)

از آنجایی که ایـن مـحدودیت‌ها بـوسیله قوانین طبیعت اعـمال شـده‌ است به نظر می‌رسد کـه قـوانین منطق به وسیله قوانین طبیعت‌ محدود شده‌اند و یا به آنها فروکاسته شده‌اند.

بنابراین به نظر می‌رسد قـوانین مـنطق قوانین طبیعت باشند.

۱-۵- همه قوانین(انسانی)تفکر قوانین طبیعت هـستند،ازاین‌رو هـمه‌ انسان‌ها به طـبیعت تـعلق دارنـد.حال آنگونه که بول مـی‌گوید،قوانین‌ منطق از قوانین‌ تفکر‌ اقتباس و استخراج شده‌اند؛ یعنی، اقتباس قوانین‌ نمادین منطقی از خواص ذهن انسانی‌.

بنابراین به نظر می‌رسد که قوانین مـنطق از قـوانین طبیعت اقتباس و مشتق شده‌اند.

۲- استدلال‌های مخالف

۱-۲- همان‌طورکه اکام و لایب نـیتز خـاطر نـشان‌ کـردند‌ قـوانین منطق‌ وسایلی برای سـایر عـلوم دیگر هستند،به این صورت که آنها اصول اثبات‌ و برهان هستند:

ولی قوانین طبیعت اصولی از اثبات و برهان نیستند‌ و در نـتیجه آنـها وسیله‌ای بـرای همه‌ علوم‌ دیگر نیستند.

بنابراین:قوانین منطق قوانین طبیعت نیستند.

۲-۲- مطابق نـظر ویـتگنشتاین قـوانین مـنطق،تحلیلی هـستند،گزاره‌های‌ منطق تـوتولوژیک (همانگویانه) هستند بنابراین گزاره‌های منطق چیزی‌ نمی‌گویند (آنها گزاره‌های تحلیلی هستند)

ولی قوانین طبیعت واقعیت را توصیف‌ می‌کننتد‌ و بنابراین تحلیلی‌ نیستند و ترکیبی‌ هستند.

بنابراین:قوانین منطق نمی‌توانند قوانین طبیعت باشند.

۳- جواب پیشنهادی:

ما می‌توانیم در هر رشته‌ای علمی سه دامنه را تشخیص دهیم: دامنه‌ مسایل،دامنه‌ی کـاربرد و دامنه صحیح آن،این مسئله برای منطق،ریاضیات‌ و برای علوم طبیعی نیز محفوظ‌ است‌ اما با در نظر گرفتن یک مقایسه بین‌ همه‌ی سه دامنه یاد شده می‌توان نشان داد که قوانین منطق،قوانین طبیعت‌ نیستند.این ادعـا بـه صورت زیر می‌توان نشان داده شود:

۱-۳- دامنه مشکلات و مسایل:

اگر ما از‌ دامنه منطق صحبت می‌کنیم ممکن است در ذهن داشته‌ باشیم که منطق با یک تعداد معین از سوال‌ها‌ و مشکلات سروکار دارد. هرچند انتخاب این مسایل دل‌بـخواهانه و یـا صرفا‌ فقط‌ برای‌ راحتی‌ نیست؛با این وجود دارای یک مرز مشخص و مبرهن نسبت به سایر رشته‌های علمی به خصوص ریاضیات نیست.اما ‌‌این‌ معنی را نمی‌دهد که این مـرز در هـمه جا مشخص نیست ازاین‌رو مـوضوعات و مـوارد مشخص‌ و معینی هم وجود دارند.بنابراین این معنا را می‌دهد که مسایلی‌ وجود دارد که هم به منطق‌ و هم به ریاضیات تعلق دارند،ولی مسایل‌ دیگری هستند که تصصم‌گیری در مورد آنـها‌ راحـت نیست.

در مورد موارد‌ با‌ مـرز روشـن و مجزا،مشکل،وجود معیار محکمی‌ عمومی به جهت تشخیص استدلال‌های معتبر از نامعتبر یا به عبارت دیگر مشکل مفهوم نتیجه‌ی منطقی می‌باشد که به‌طور قطع متعلق به حوزه‌ مسایل و مشکلات منطقی می‌باشد.درحالیکه‌ مشکل راه حل معادلات‌ دیافانتین خـاص،مثل مـشکل فرما،یا موضوع عام‌تر مربوط به مسئله دهم‌ هیلبرت،یا اینکه هر معادله دیافانتون دارای جواب عددی صحیح هست‌ یا خیر،به‌طور روشنی یک مشکل ریاضیات می‌باشد.

در مورد موضوعاتی که‌ تمایز‌ مشخص نیست،اسکولم به رابطه‌ مفاهیم پایه مـنطق و ریـاضیات اشاره مـی‌کند:من در اینجا در مورد نشان‌ دادن رابطه بین اصول ابتدایی منطق و ریاضیات اجازه و اختیاری را بر می‌گزینم، مستقل از اینکه فردی‌ مفهوم‌ تابع گـزاره‌ای را به شیوه اول یا دوم معرفی کند بالاخره این فرد به نظریه انـتگرال‌ها مـی‌رسد.از طـرف‌ دیگر ممکن نیست که به‌طور منطقی مجموعه اعداد را بدون استفاده‌ از مفهوم توابع‌ گزاره‌ای‌ توصیف کنیم.بنابراین به نظر مـی‌رسد ‌ ‌کـه این‌ تصور معیوبی باشد که پایه مفاهیم منطقی براساس مفاهیم ریاضی است‌ و برعکس.هر دو مـی‌باید بـاهم اسـتقرا یابند و در یک ارتباط متقابل و دو‌ طرفه‌ باشند. استدلال‌ اسکولم نشان می‌دهد که نه‌ همه‌ مفاهیم‌ مهم‌ ریاضیات مـشمول در منطق یا قابل تحویل در آن هستند-قسمتی از آموزه منطق‌گرایی-و نه همه مفاهیم مهم منطق در مـفاهیم ریاضی مستقر و‌ یا‌ قـابل‌ تـحویل به آن است.

با این حال،یک سلسله مراتب قطعی‌ وجود‌ دارد که در قسمت مربوط به حوزه مخصوص منطق نشان داده خواهد شد.مستقل از تمایزات‌ سیستماتیک،یک سوال که به حوزه مسایل(یک‌ رشته‌ علمی)مرتبط است‌ راجع به توسعه تاریخی آن است.بنابراین اولین مشکل دربـاره اعتبار استدلال‌ها‌ به قدمت خود منطق است.یعنی به ارسطو برمی‌گردد.و سؤال‌ اینکه چگونه معادل‌های دیافانتینی را حل کنید به دیافانتوس برمی‌گردد. راجع‌ به‌ تمایز‌ مشکلات و مسایل منطق از علوم طبیعی روشن است که‌ مشکل تعریف‌ کردن‌ اعـتبار اسـتنتاجات یا نتیجه مجموعه مقدمات یکی‌ از مشکلات و مسایل منطق و نه علوم طبیعی می‌باشد.در‌ نتیجه‌ از‌ نظر تمایز مسایل و مشکلات،قوانین منطق در فهم قوانین(قاعده‌ها)بدست‌ آمده یا استنتاج نمی‌توانند قوانین‌ طبیعت‌ باشند.از‌ طرف دیگر برخی‌ مسایل مثل مـساله نـقاط جرمی منحصرا مسئله فیزیک هستند و از مسایل‌ منطق‌ نیستند.

برای هر‌ سیستم دل‌بخواهی نقاط جرمی که در آن هر دو ذره‌ یکدیگر را مطابق با قوانین‌ نیوتن‌ جذب می‌کنند،با فرض اینکه هیچ‌ دو نقطه‌ای با یکدیگر تصادم نمی‌کنند،این نـقاط بـه منزله‌ی‌ مجموعه‌ رشته‌های‌ یکنواختی‌ که چهارچوب آنها کارکردهای شناخته‌شده‌ای پدید آورده است عمل می‌کنند.

پوانکاره استدلالی را ارایه داد که‌ چنین‌ سری‌هایی (مجموعه‌هایی) واگرا هستند تا اینکه همگرا باشند،هرچند او مشکل را حل نکرد.این‌ مساله بوسیله‌ Kolmogorov‌ تا‌ حدودی حـل شـد و نـهایتا به وسیله شاگرد او در سال ۳۶۹۱ حـل شـد.۴۱در نـتیجه،قوانین نیوتن‌ و قوانین در رابطه با واگرایی نقاط مجانب نمی‌توانند قوانین منطق باشند.

۲-۳- دامنه‌ی کاربرد:

با توجه‌ به‌ دامنه کاربرد ما به سه موضوع توجه می‌کنیم: ۱) اینکه‌ دامنه کـاربرد مـنطق بـا قوانین آن نسبتا محدود‌ شده‌ نیست‌ درحالی‌که‌ دامنه کاربرد عـلوم طـبیعی و قوانین آن کمتراست، ۲) اینکه قوانین منطق‌ کلاسیک خاصیت‌های متفاوتی‌ را‌ نسبت به قوانین طبیعت دارند، ۳) اینکه‌ قوانین منطق محدود شده و یا تحویل شده حساب کـلاسیک یـا از‌ یـک‌ منطق‌ ضعیف‌تر نمی‌تواند به قوانین طبیعت تحویل شود.

۱) عدم محدودیت قلمرو کاربرد:

دامنه کاربرد مـنطق‌ نه‌ تنها گسترده که بلکه بدون حد و مرز‌ نیز هست.۵۱بنابراین‌ یک استنتاج منطقی می‌تواند نسبت به جملات‌ منطق، ریاضیات،فیزیک،شیمی،تاریخ،نمونه‌های‌ حـقوقی و غـیره بـه کار گرفته‌ شود.جایی که متغیرها(موجود در استنتاج)به ترتیب به عنوان‌ نشانه‌هایی‌ برای‌ اعداد،اجزاء مـقدماتی،عناصر شـیمیایی،مذاکرات صلح،فعالیت‌های‌ انسانی و فرایندهای‌ مغزی تفسیر‌ شده‌اند.یا‌ اصلی‌ که اگر دو خاصیت‌ (مفاهیم) سازگار باشند (یک تعمیم‌ عمومی‌ دارند) پس نسبت‌های‌ مرتبه‌ی بالاتر مـطابق آنـها نـیز همین‌گونه است.

مانند استنتاج بالا این اصول،نسبت‌ به‌ هر خصوصیت یا مجموعه‌ سازگاری قابل اجـرا‌ هـستند ولی دامـنه و قلمرو‌ کاربرد قوانین طبیعت به‌ طور وضوح‌ کم‌عرض‌تر‌ هستند و ازاین‌رو ما نمی‌توانیم بگوییم که آنـها برای مـنطق نـیز دارای کاربرد هستند (برای‌ مثال‌ روابط بین مفاهیم محض) و یا‌ دارای‌ کاربرد‌ برای ریاضیات هستند(برای‌ مثال‌ مـشکلات تـئوریک‌ اعداد) از این‌رو هیچ قانون‌ منطقی‌ یک چنین محدودیت کاربردی را ندارد پس هیچ قانون منطقی یک قـانون طـبیعت نیست.

۲) منطق کـلاسیک‌ کامل:

آنچه معمولاً هم در حوزه ریاضیات و هم‌ در علوم،به‌ کار‌ گرفته‌ می‌شود‌ بسیار بیشتر از مثال‌های‌ ذکر شده در بـالا از قـوانین عمومی منطق‌ و شبیه آن می‌باشد:این قضیه‌هایی از منطق محمولات‌ مرتبه‌ اول همراه‌ با اینهمانی است.( PL1 ،که‌ هـمچنین‌ مـنطق‌ کـلاسیک‌ نیز‌ نامیده می‌شود) هم‌چنین این‌ سیستم‌ منطق،منطق اساسی سیستم تئوری مجموعه می‌باشد که امروزه کاربرد وسیعی یـافته اسـت.تئوری مجموعه Zermelo-fraenkel و تئوری مجموعه Neumann-Bernays-oockl.PL1‌ یک‌ تئوری مرتبه اول‌ به این معناست که فقط‌ تـسویرسازی‌ بـر‌ رویـ‌ متغیرهای‌ فردی‌ وجود دارد و نه بر روی محمول‌ها.تسویرسازی بر روی هستومندهای نوع بالاتر (مانند محمولات) یا بر روی مجموعه‌ها در منطق مـرتبه بـالاتر یـا در تئوری‌ مجموعه انجام می‌شود. PL1 از یک‌ طرف می‌تواند به صورت سمانتیکی‌ یا به صورت مـدل تـئوریکی توجیه شود و یا از طرف دیگر به صورت‌ تئوری برهانی توجیه گردد. در هر دو صورت می‌توان نشان داد که PL1 یـک‌ تـئوری‌ کامل هست ولی تصمیم‌پذیر نیست. اما به ‌هرحال PL1 که در محمولات یک موضعی محدود شده اسـت(و قـیاس‌هایی که در آن واقع‌ می‌شوند)تئوری‌های تصمیم‌پذیر هستند.ولی قوانین طبیعت(حد اقـل‌ آنهایی کـه امـروز شناخته شده‌اند)کامل نیستند،یعنی‌ موردی‌ نیست که‌ همه جـملات صـادق درباره‌ی چیزهای طبیعت یا موضوعات فیزیکی یا سیستم‌های فیزیکی از قوانین به علاوه شرایط ابـتدایی قـابل استخراج‌ باشند.

بنابراین قوانین منطق(به مانند‌ قضیه‌های‌ PL1 )قـوانین طـبیعت‌ نیستند(و قوانمن فـیزیک‌ نیستند)

۳) منطق ضـعیف‌تر و مـنطق کلاسیک مقید A منطق ضعیف‌تر:

هنگامی‌که منطق پایه‌ای و اسـاسی را بـرای ریاضیات و یا کاربرد در علوم تجربی انتخاب می‌کنیم دلایل خوبی‌ برای‌ توضیح بـیشتر مـی‌توانیم‌ در اختیار‌ داشته‌ باشیم.

همان‌گونه‌که شهودگرایی ریاضی اعتبار قـوانین PL1 را نسبت به‌ منطق شهودی مـحدود مـی‌کند،زیرا آن به نوع مخصوصی از محدودیت‌ تعریف شـده از مـفاهیم در گزاره‌های ریاضیاتی نیاز دارد که نسبت به‌ قلمرو نامتناهی‌ یا‌ به عبارت دیگر نسبت بـه جـملات سوری شده به‌ کار گرفته شـده اسـت، در حـالیکه تسویرسازی یک قـلمرو نـامتناهی را در بر می‌گیرد.

برای مثال اینکه اسـتفاده از اصـل طردشق ثالث هرگز برای قلمروهای‌ نامتناهی‌ مورد‌ سوال و تردید قرار نگرفته است.ولی تفسیر شهودگرایانه‌ از شـکل تـصویر شده (به تصویر صفحه مراجعه شود) محدودیت عـمده‌ای از ایـن‌ اصل را‌ آشکار می‌کند:

به خـاطر اسـتقرار و ثـابت کردن اعتبار (به تصویر صـفحه مراجعه‌ شود)می‌باید‌ یک‌ ساختاری‌ از عدد طبیعی K و یک برهان برای A(k) فراهم آوریم.برای نشان دادن‌ اینکه می‌باید یـک بـرهان ارایه ‌‌کنم‌ که ابطال A(n) برای هـمه n هـا نـشان‌ می‌دهد. حیثیت شـهودگرایانه را حـفظ می‌کند. بنابراین آنچه‌ مـورد‌ نـیاز است‌ عبارت است از اینکه:یا یک ساختمان از عدد طبیعی k و یک برهان‌ از A(k) وجود‌ دارد و یا یک برهام متحدی که ابـطال A(n) برای هـر n را‌ نشان دهد بنابراین به‌ راحتی‌ قابل فـهم اسـت کـه مـمکن اسـت ایـن اتفاق‌ نیفتد یعنی،اصل طرد شق ثالث برآورده می‌شود.

به عنوان یک نتیجه از آن منطق گزاره‌ای اساسی مانند آن دو شرطی یا هم ارزی و سایر اصول‌ مثل نقیض مضاعف متأثر شده است و (به تصویر صفحه مراجعه شـود) به طور عمومی معتبر نیستند.به علاوه هر چهار ادات شرط (به تصویر صفحه مراجعه شود) (به تصویر صفحه مراجعه شود)مستقل نیستند. (به صورت درونی‌ قابل‌ تعریف نیستند)به‌طور مشابه ضعف‌های شبیه در مورد PL1 برای به کارگیری هم در ریـاضی‌ و هـم در علوم تجربی و منطق‌های برساختی که هر دوتای آنها توجیه‌ نظری برهانی هستند.۸۱یک گروه ضعیف‌تر منطق‌ها، منطق‌های‌ ربط و‌ منطق‌های فراسازگار هستند.گروه اول به وسیله BelnaP و Antler – son19 پایه‌گذاری شد و برمبنای عقیده‌ی تقویت استلزام که به‌طور سنتی بـه مـنطق رواقی باز می‌گردد نباشد،اما در قرن بیستم با‌ سیستم‌ استلزام‌ اکید( ssL و ۸۱۹۱)،استلزام تحلیلی Parry(AAI 1933 و استلزام‌ Ackermann(BSI 1956 آغاز شد.این رویکرد بیشتر با Dunn,Routley ,Meyer و دیگران گسترش یافت.رویکرد نسبتا غیرمستقل دیگر کـه بـر استلزام تمرکز‌ می‌کند‌ و کوشش می‌کند یـک تـئوری عمومی‌ از‌ شرطی‌ها را‌ گسترش دهد BCL 1975)chellas) و (FCL و V.Bemthem(1984 و دیگران می‌باشد.منطق‌های فراسازگار بر روی اجتناب از اصل(به تصویر صفحه مراجعه شود) (به تصویر‌ صفحه‌ مراجعه‌ شود)تمرکز می‌کنند که اجازه نتیجه گرفتن هـر فـرمول‌ و یا جمله نشانه‌ای‌ را از یـک جـمله متناقض می‌دهد.این اصل،اصل انفجاری exPloding) (PrinciPle نامیده می‌شود و بوسیله G.Priest ابداع‌ شد‌ و اجتناب آن یک‌ طرح عمومی از علم منطق فراسازگار،منطق ربط و منطق کلاسیک مقید می‌باشد.۰۲در منطق کوانتومی فراسازگار هم‌چنین A-(B-A) را که‌ برای تعریف قیاس‌پذیری استفاده می‌شود) نامعتبر است.هم‌چنین ایـن‌ قانون کـه هم‌چنین‌ قانون‌ فرگه‌ نامیده می‌شود در منطق کلاسیک مقید رد و طرد شده است. اگر منطق‌ در‌ علوم تجربی به کار گرفته شود همه‌ این منطق‌ها سعی در حل برخی از مشکلات پیش آمده‌ را‌ دارند‌ و آنها در حل بـرخی از ایـن مشکلات مـوفق بوده‌اند،به خصوص آنهایی که‌ با پارادوکس‌های‌ استلزام‌ در ارتباط بوده‌اند.و حل چنین مسایلی انگیزه‌ای‌ برای منحرف شدن از منطق کلاسیک بـود.ولی هرچند‌ این‌ انگیزه‌ از کاربرد در علوم تجربی پیدا شد شامل علوم طـبیعی نـیز مـی‌شود و این‌ نتیجه را‌ در‌ پی نخواهد داشت که قوانین این منطق‌های ضعیف‌تر، قوانین‌ طبیعت هستند.نوع دیگری از منطق‌های ضعیف‌تر‌ منطق‌های‌ کوانتوم‌ هستند‌ که بر روی مـشکلات ‌ ‌بـرآمده از کاربرد منطق کلاسیک در فیزیک‌ مدرن، به خصوص فیزیک کوانتوم،تمرکز‌ می‌کند. منطق‌ کلاسیک دو فرض و مقدمه را می‌سازد کـه بـوسیله مـکانیک کوانتوم مورد تخطئه قرار می‌گیرد:

:(QM)‌

I) هر گزاره (با ارزش صدق قطعی) می‌تواند (با برخی ادات‌ منطقی (به تصویر صفحه مراجعه شود)) با هر گـزاره دیگری‌ جهت‌ تولید یک گزاره جدید پیوند برقرار کند.در نتیجه محمولاتی که در گزاره‌ها قـرار‌ گرفتند‌ می‌توانند‌ به‌ طور دلخـواهانه،ترکیب شـوند.نتیجه این شکل آن است:اگر گزاره A یک حالت فیزیکی را نشان می‌دهد(یا‌ امور‌ واقع)و‌ گزاره B نیز همین‌ کار را انجام می‌دهد،آنگاه این عطف(و این فصل،استلزام و هم‌ ارزی) یک حألت فیزیکی(قابل اندازه‌گیری)یا امور واقع را نشان می‌دهد. این به خـوبی شناخته شده است که این (انواع‌ دل‌بخواهی‌ ترکیب یا قیاس‌پذیری) مواردی در برخی موقعیت‌ها در QM نیست(اندازه گرفتن‌ موقعیت‌ها و حرکت‌ها)

II) ‌قوانین‌ توزیع‌پذیری به عنوان یک هم ارزی نامحدود‌ تلقی‌ می‌شوند.همان‌طورکه‌ قبلاً‌ V.Neumann,Brikhoff در مقاله‌هایشان نشان‌ دادند قواعد توزیع‌پذیری منطق‌ کلاسیک‌ در مورد گزاره‌های توصیفی‌ تجربی در ( QMمـکانیک کـوانتوم) از یک سو برقرار نیست (با توجه‌ به‌ دوسویه‌ بودن قواعد توزیع‌پذیری)بنابراین هر منطق‌ کوانتومی‌ می‌تواند از این‌ فرض‌های‌ کلاسیک‌ دوری گزیند و می‌تواند با حساب‌ شبکه‌ای‌ ارتو‌ مجولار (Orthomodular) یک رابطه یک‌به‌یک برقرار کرد که این کـار توسط Mittelstaedt انـجام‌ شده‌ است.حال منطق کوانتوم مثالی است که‌ واقعیت‌های‌ طبیعت(واقیت‌های تجربی QM )در‌ تصادم‌ و برخورد با مقدمات فرض‌های اساسی‌ منطق‌ کلاسیک (CL) هستند.

(I, II بالا). مشاهده اینکه فرض (i) به‌طور واقعی یک قانون یا قضیه‌ای‌ از‌ منطق کلاسیک (PL1) نیست ولی‌ متمرکز‌ بـر‌ هـر قالب و شکل‌ قوانین‌ برای ساختن حساب می‌باشد.گرچه‌ اینها‌ اسباب و پایه قوانین‌ عطف می‌باشند: (در سیستم‌های قیاس طبیعی مورد استفاده قرار گرفت) و فرض (ii)‌ یک‌ هم ارزی از استلزام را ادعا‌ می‌کند‌ و نامحدودیت‌ را حفظ‌ می‌کند‌ در هنگامیکه بـه پدیـدارها‌ و تـجارب در مکانیک کوانتوم‌ پاسخ داد.

آنچه این مورد نـشان مـی‌دهد آن اسـت که قسمتی از‌ قوانین‌ (PL1) می‌تواند وقتی در زمینه‌های قطعی‌ علوم‌ تجربی‌ به‌ کار‌ رفت مورد استفاده‌ قرار‌ گیرد،برای‌ مثال در QM و دیگر اینکه اینجا نمی‌تواند بـه کـار گـرفته‌ شود اما می‌تواند در علوم رسمی‌ مثمر‌ ثمر‌ باشد(مثلا بـرای ریـاضیات‌ کلاسیک و تئوری مجموعه)اما آن‌ نمی‌تواند‌ نشان‌ دهد‌ که‌ بعضی‌ از قوانین منطق (PL1) به وسیله واقعیات تجربی قابل ابطال هستند و بنابراین‌ هم‌چنان مـی‌توانند قـوانین طـبیعت نامیده شوند.

به عنوان یک بحث آنچه از اصول پایه‌ای منطق باقی مـی‌ماند،برخلاف‌ محدودیت‌های‌ معقول در کاربرد در مناطق مختلف-جوابی که در زیر آمده است به نظر می‌رسد به نحو خوبی توجیه‌کننده باشد، منطق‌ کاربردی معنی کـاربرد حـد اقـل در اصول زیر را می‌دهد:

اگر قوانین منطق قابل‌ اجرا‌ برای تمام موضوعات‌ هستند، هرآنچه‌که قابل اجـرا بـرای موضوعات مختلف‌ هست بوسیله علوم طبیعی مورد بحث قرار می‌گیرد.یک‌ قانون در صورتی برای برخی از موضوعات قابل اجرا است کـه هـمه مـوضوعات حوزه مربوطه،قانون موردنظر را‌ برآورده‌ سازند.حال اگر قوانین منطق به وسیله همه‌ی‌ موضوعات بـرآورده مـی‌شوند هـرآنچه‌که به وسیله موضوعی‌ اشباع شود،آنگاه به وسیله علوم طبیعی نیز همان معامله و رفتار با‌ آن‌ خـواهد شـد. ضمن آن‌که قوانینی که‌ به‌ وسیله‌ی‌ موضوعات مختلف برآورده می‌شوند و به وسیله علوم‌ طبیعی نیز برآورده مـی‌شوند قـوانین طبیعت نامیده می‌شوند. در نتیجه: اگر قوانین منطق برای همه موضوعات قابل اجرا و کاربرد‌ هـستند‌ ازایـن‌رو قـوانین منطق، قوانین طبیعت‌ هستند. حال‌ اینکه‌ مطابق با نظر کانت نیز قوانین منطق قابل‌ اجرا برای همه مـوضوعات هـستند. بنابراین: قوانین منطق‌ قوانین طبیعت هم هستند.

۱) اصل نتیجه منطقی یا استنتاج منطقی

یک استنباط (استنتاج) منطقاً معتبر است اگر همیشه از مـقدمات صـادق‌ به نـتیجه‌ صادق‌ منجر شود.یک استنتاج معتبر است اگر در هیچ مرحله‌ای‌ با مقدمات صادق یک نتیجه‌ی کاذب بـه دسـت نیاید،به علاوه یک استنتاج‌ معتبر اجازه آن را می‌دهد که از یک نتیجه کاذب متوجه‌ مـی‌شویم‌ کـه‌ حد اقـل‌ یکی از مقدمات می‌باید کاذب باشند این اصل هم‌چنین می‌تواند الگوی تئوریکی‌ای را بیان کند که در آن‌همه‌ الگـوهایی کـه مـقدمات‌ را اشباع می‌کنند (مقدمات را صادق می‌سازند) نتیجه را نیز اشباع‌ می‌کند.

۲) یک شرح‌ متساهل‌ از اصل عدم تناقض:

دو گزاره‌ای که یـکی سـلبی و دیگری ایجابی باشند نمی‌توانند همزمان‌ صادق باشند.(یا به‌طور کلی‌تر، هر ‌‌دو‌ نمی‌توانند ارزش‌های یکسان‌ را داشته باشند) این را فرض بگیرید کـه ایـن اصل نمی‌تواند هم‌ارزی‌ را پیش‌فرض‌ نگیرد‌ و منطق چندارزشی را رد نکند.

۳) برخی قواعد سنتی استنتاج یا قـوانین مـنطق که یک ساختار‌ بسیار ساده و شفاف دارند مـانند وضـع مـقدم، رفع تالی، قیاس شرطی، تعدی و قوانین اینهمانی، این لیست نمی‌تواند‌ بـه‌طور دلخـواهانه‌ گسترش یابد چرا‌ که‌ مورد هم‌ارزی یا نقض مضاعف بحث‌برانگیز نیستند.

یک مرحله معتدل پشت سر ایـن سـه اصل یک تا سه کـه بـرمبنای ( CLمنطق کـلاسیک) بنا شـده‌اند مـفهوم اعتبار را مورد توجه قرار می‌دهد، هرچند بـیشتر مـشکلات‌ را حل می‌کند (در کاربردهای بیرون از منطق و ریاضیات) و از منطق کلاسیک CL منحرف می‌سازد که بـه نـظر می‌رسد منطق کلاسیک را محدود کرده باشد.

آنچه محدودیت بـالا را نسبت به سوال و بـحث‌ اسـاسی‌ ما نشان‌ می‌دهد آن نیست که بـعضی قـوانین منطق به وسیله واقعیت‌های تجربی رد شده‌اند،بلکه آنکه همه‌ی قوانین CL نمی‌توانند مورد استفاده یـا کـاربرد در زمینه‌ای خاص از کاربرد علوم تـجربی مـورد اسـتفاده‌ قرار‌ گیرند.

۳-۳- دامنه صحیح:

دامنه صـحیح مـنطق در سنت آن،به همان مـعنا،گزاره و اسـتنتاج توضیح‌ داده شده بود (اعصار میانه، بوسیله‌ی بوئیتوس) و امروزه هم هنوز این‌ دامنه، تقسیم‌بندی بدی نیست. هم‌چنین این نکته بـوسیله بـوئیتوس و بعد از‌ آن‌ ابن سینا یادآوری شـده بـود که مـنطق بـا مـرتبه‌های دوم مورد توجه‌ قرار گرفته اسـت: به آن معنی که با مفهوم‌”آبی‌”یا مفهوم‌”مفهوم‌”همراه‌ نیست ولی با مفهوم به عنوان مفهوم یا با مفهوم‌ مفهوم‌ هـمراه‌ مـی‌باشد.به‌ همین صورت منطق با یک‌ گزاره‌ جـزیی‌ یـا اسـتنتاج جـزیی سـروکار ندارد ولی با گـزاره فـی نفسه و خصوصیات صوری آن مانند صدق و کذب و بخش‌های آن مثل موضوع‌ و محمول‌ و قسمتی که بر قسمت دیگر حـمل‌ می‌شود سـروکار‌ دارد،و‌ هـم‌چنین با یک استنتاج مخصوص سروکار ندارد ولی با اسـتنباط و اسـتنتاج فـی نـفسه و خـصوصیات صـوری آن مانند اعتبار و با‌ نسبت‌ مقدمات با نتیجه سروکار دارد.

آموزه‌ی‌”مرتبه دوم‌”به درجه بالایی از انتزاع‌ این هستومندها با آنچه‌ منطق به آن مربوط می‌شود اشاره می‌کند:

آنها هستومندهای انضمامی نیستند،آنها افراد دارای نوع سطح صفر نیستند،ولی‌ هـم‌چنین‌ محمولات‌ خاص سطح ۱ یا ۲ نیز نیستند.یک دیدگاه‌ مشابه توسط راسل در‌ رابطه‌ با هستومندهای ریاضی اتخاذ شده است:

ما با این موضوعات شروع نمی‌کنیم، با خصوصیات جزیی یا اشیاء جزیی سروکار‌ داریم…ما‌ آماده‌ شده‌ایم که بـگوییم کـه یک و یک دو می‌شود.ولی نمی‌توانیم بگوییم سقراط و افلاطون‌ دو‌ هستند…جهانی‌ که هیچ افرادی در آن نباشد هنوز جهانی خواهد بود که یک و یک‌ دو می‌شود.

درجه بالایی‌ از انتزاع و کلیت،تعلق هستومندها به دامنهی ویژه‌ای‌ از منطق به وسیله سـه اصـل L,M.E‌ می‌تواند‌ به‌طور اساسی نشان داده‌ شود:

E :همه مفاهیم منطق عمومی‌تر از همه مفاهیم علوم‌ تجربی‌ هستند. این‌ اصل به صورت زیر می‌تواند تأیید شود:

هر مفهوم تجربی مثل جـرم (انرژی،تقارن،زمینه‌ی سـلولی،متابولیسم، جامعه،صلح و غیره)حامل‌های‌ مادی‌ یا روندهای مـادی(یعنی وابـسته‌ به ماده)هستند و فقط می‌تواند با هستومندهای مادی در فضا-زمان‌ تعریف‌ شود.از‌ طرف‌ دیگر هیچ مفهومی از منطق فضازمانی نیست. همه‌ی قوانین علوم تجربی و قوانین طبیعت حد اقل‌ بعضی‌ سـاختارهای‌ تجربی مـمکن و سازگار را(از یک جهان بـدلیل)نمی‌پذیرند ولی هـیچ‌ قانون پایه‌ای منطق‌ مثل‌ اصل‌ عدم تناقض(در یک فرم و شکل متساهل) یا اصل نتیجه‌ی منطقی برخی ساختارهای تجربی(سازگار)ممکن را رد نمی‌کند. بنابراین‌ واضح‌ است‌ که قوانین منطق نمی‌توانند قوانین طبیعت‌ باشند.در رابطه با به کارگیری اصـل عـدم‌ تناقص‌ در علوم تجربی،کسی‌ ممکن است خوانش‌های متفاوتی از این اصل عدم تناقض (NC) داشته‌ باشد آنها در قوت‌ و استحکام متفاوت هستند آن‌طورکه بسیاری از منطق‌های ارزش‌گذاری شده را رد کردند که‌ دیگری‌ انجام ندادند.

(NC1به تصویر صفحه مراجعه‌ شود)که‌ P مـی‌تواند فـقط ارزش کذب یـا صدق را‌ برگزیند، منطقاً‌ صادق است.

(NC2به تصویر صفحه مراجعه شود) به‌طور منطقی صادق است.

(NC3حد‌ اقل‌ یک عضو از جفت(به تصویر‌ صـفحه‌ مراجعه شود) می‌باید‌ کاذب‌ باشد.

(NC4حد اکثر یک عضو از‌ جفت(به‌ تصویر صفحه مـراجعه شـود)می‌تواند صـادق باشد(یا می‌تواند یک ارزش مشخص داشته باشد)

(NC5‌یک‌ گزاره نمی‌تواند هم صادق و هم‌ کاذب باشد.

(NC6یک‌ گزاره‌ می‌تواند فقط یک ارزش را‌ داشـته‌ باشد.۵۳

‌ ‌,NC1شـامل هم‌ارزی هم می‌شود مانند اصل لایب نیستی به نظر می‌رسد در‌ ذهن‌ اصل تناقض مـوجود بـاشد از‌ ایـنرو‌ او‌ دو نتیجه آن‌ را می‌دهد:یکی‌ NC5 هست،دیگری فرمول شفاف‌ و روشن هم‌ارزی‌ می‌باشد.

,NC2هم‌ارزی را به کار نمی‌گیرد و در برخی سیستم‌های منطق‌های‌ ارزشی و نـه‌ در همه،آن را حفظ می‌کند.(این اصل‌ در‌ سیستم‌های سه‌ ارزشی Kleene, Bochrar, Post, Lukasiewicz‌ رد‌ می‌شود) این نکته که‌ دو نوع‌ مختلف از منطق‌های ارزشـی وجود دارند:در معنای اول‌”چـند ارزشی‌”می‌تواند مـعنا دهد:برخی ارزش‌ها به علاوه ارزش‌های صدق‌ و کذب،در‌ معنای دوم‌”چندارزشی‌ها”می‌تواند بیشتر از یک ارزش‌ صدق‌ و‌ بیشتر‌ از‌ یک‌ ارزش کذب عمل‌ کند‌ به این معنی که هیچ‌چیزی بین‌ صدق و کذب وجود ندارد و فقط ارزش‌هایی برای صـدق و انواع‌ مختلف‌ ارزش‌هایی‌ برای کذب داریم.

NC3 بسیار محدودیت‌آور است‌ ازاین‌رو‌ که‌ در‌ همه‌ خطوط جدول‌ صدق مستلزم ارزش‌های کذب است که سلب و نفی گزاره،سایر ارزش‌های دیگری غیر از کذب نیز دارد (برای مثال‌”خنثی‌”)

NC4 قطعاً متساهلانه‌ترین خوانش می‌باشد که البـته قـبلا از سوی‌ ارسطو‌ از آن دفاع شده بود.با توجه به این خوانش است که ما قطعا می‌توانیم بگوییم که آن هر ساختار تجربی را رد نمی‌کند.

NC5 به وسیله لایب نیتس ذکر شده است‌ و به‌طور کلی حداقل برای‌ کاربردهای مـنطق در عـلوم تجربی قابل دفاع است. بالاخره NC6 بیان‌ می‌کند که وقتی ارزش صدق به گزاره‌ها نسبت می‌دهیم یک پیش فرض‌ هم‌ارزی را در نظر می‌گیریم، یعنی‌ اگر‌ گزاره ارزش V را دارد نمی‌تواند ارزش دیگری مثل(به تصویر صفحه مراجعه شود) را داشته باشد.

در جمع بـه نـظر می‌رسد که برای یک سیستم کاربردی‌ منطقی‌ برای‌ علوم تجربی،اصل عدم تناقض باید‌ در‌ شکل NC4 بیان شود و در حالیکه‌ NC6, NC5 می‌توانند در فراتئوری برای احداث این سیستم پذیرفته شوند.

به‌هرحال ما می‌خواهیم خاطرنشان سازیم که مـا فـکر‌ نـمی‌کنیم‌ که‌ طبیعت یا واقعیت (یا فرایندهای‌ واقـعی‌ آنـها) از NC4 تـخطی می‌کنند، تخطی از NC4 می‌تواند فقط در افکار و تئوری‌های انسانی درباره طبیعت‌ اتفاق افتد. بنابراین منطق‌های فراسازگار که یک تخطی از NC4 را اجازه‌ می‌دهند،می‌توانند به عنوان مدل‌های افکار انسانی‌ ولیـ‌ نـه فـرایندهای‌ واقعی فهمیده شوند.

:M بعضی مفاهیم ریاضیات کمتر از همه مفاهیم مـنطق انـتزاعی هستند، بعضی قوانین(یا جملات)ریاضیات از همه قوانین منطق کمتر عمومی‌ هستند.بخش اولی که می‌تواند به وسیله واقعیت تثبیت‌ شود‌ آن است‌ که‌ مفهوم عدد طـبیعی جـزئی، مثلا‍ً ۵،از هـر مفهوم منطقی کمتر انتزاعی‌ است.

تنها مفاهیم ذوات (هستومندها) که تحت سیطره شرط یکتا بـودن‌ هستند‌ به وسیله اعداد طبیعی برآورده می‌شوند.ولی منطق می‌تواند صرف‌ نظر از آنها‌ در‌ یک‌ روش برهان تئوریکی ساخته شود.ولی برای ریاضیات‌ ذوات اعـداد طـبیعی پایـه‌ای و ضروری هستند.و به علاوه می‌باید به ‌‌طور نامتناهی‌ برای انجام دادن ریاضیات وجـود داشـته باشد.(با توجه به قوانین‌ یا جملات ریاضی.

جملاتی مثل‌ ۲۱-۷+۵‌ از‌ حساب یعنی،جملاتی که دارای مفاهیم‌ انحصاری ذوات (افراد)خاص هستند در این مورد اعداد طـبیعی(به‌ علاوه-،+ و-)جـملات اصـیل ریاضیات‌ هستند.

مثال‌های هندسی نشان می‌دهد که جملاتی وجود دارد که حد اقل‌ یک مفهوم از‌ یـک نـوع خـاص یا‌ یک‌ ثابت را دربرمی‌گیرند مانند:

مجموع زوایای یک مثلث ۱۸۰ (به تصویر صفحه مراجعه شود)است‌۰۴،ولی هیچ جـمله‌ای(یا قانون) از مـنطق حـاوی مفاهیم خاص هستومندها نیستند،همه‌ی جملات‌ اصیل منطق متغیرها (به علاوه اصطلاحات منطقی مثل (به تصویر صفحه مـراجعه شود)) را در برمی‌گیرند.

L : بـعضی مفاهیم منطق انتزاعی‌تر از همه‌ی مفاهیم ریاضیات هستند و بعضی قوانین منطق عمومی‌تر یا پایـه‌ای‌تر از هـمه‌ی قـوانین ریاضیات‌ هستند.بخش اول می‌تواند به وسیله اتخاذ مفاهیمی از اینهمانی یا حمل‌ (جایی که‌ محمول‌ دو موضعی و یا بـیشتر یـک نسبت خوانده می‌شود) صادق نشان داده شود.

مفهوم اینهمانی در ریاضیات پیش فرض گرفته شده است و هم‌چنین‌ مفهوم عـمومی، حمل(نسبت) می‌باشد. هر مـعادل ریـاضیاتی اینهمانی‌ خاص‌تری است و هر تابع‌ ریاضیات‌ نوعی حمل یا نسبت است. بخش‌ دوم از این واقعیت،بدیهی و آشکار است کـه قـانون اینهمانی X-X یا اصل‌ نتیجه منطقی، عمومی‌تر از هر قانون ریاضی هستند.اولی به وسیله هر معادل ریـاضیاتی و دومـی‌ بـه‌ وسیله هر برهان ریاضیایت پیروی می‌شود.

ما جهت تمایز و تحدید بین منطق و ریاضیات شرایط L1 تا L4 را برای قـوانین مـنطق و M1 تـا M3 را برای قوانین(قضیه‌های)ریاضیات‌ فرض می‌کنیم:

L1‌ :

اجازه بدهید S یک جمله درست‌ ساخت‌ (WFF)‌ در قالب طبیعی Pren – ex باشد.یعنی همه سـورها در ابـتدای جمله بیاید.آنگاه همه اصطلاحات‌ به جز ثوابت منطقی،به‌طور عمومی مسور شده‌اند‌ و یا‌ می‌توانند به‌طور عمومی با حفظ اعـتبار مـسور شوند.ثوابت منطقی‌ عبارتند‌ از:

(به تصویر صفحه مراجعه شود(

و غیره.

L2:

عالم سخن (دامنه‌ای که متغیرها به‌>آن ارجاع مـی‌کنند) حداقـل‌ یک موضوع را دارا می‌باشد (یعنی‌ تهی‌ نیست) این‌ برای PL1 و همه‌ سیستم‌های بـحث شـده در بـالا وجود دارد. منطقی‌ که یک دامنه تهی‌ (بستگی بـه قـوانین مرجع یا اصطلاحات غیرارجاعی دارد) یک منطق تهی‌ یا یک منطق آزاد را مجاز‌ می‌کند‌ این‌ سـیستم‌ها دارای سـایر خصوصیات‌ می‌باشند.

L3 :

S یک قانون استنتاج معتبر‌ اسـت‌ کـه می‌تواند بـه عـنوان یـک استلزام‌ عمومی صادق که از L1 پیروی می‌کند مـجددا تـفسیر شود.

L4‌ :

S یک نتیجه منطقی از یک جمله تحت اداره L3 یا L1 است.

:M1 اجازه‌ بدهید m یک جمله درسـت سـاخت در قالب طبیعی Prenex باشد و همه اصطلاحات‌ m (بـه‌ جز ثوابت منطقی و ریـاضیات مـثل‌ (به تصویر صفحه مراجعه شود)و غـیره) شاخصی از طـبقه‌بندی i داشته‌ باشد (به تصویر صفحه مراجعه شود) ( O برای پایین‌ترین نوع‌ها)

آنگاه حد اقل یک اصطلاح (معمولاً‌ مـتغیر‌ مـحمولی‌ یا متغیر مجموعه) که به‌طور وجـودی سـوردار شـده است وجود دارد و دارای شـاخص ( iبـه‌ تصویر صفحه مراجعه شود) می‌باشد. مثلاً:

همه‌ای اصـول مـوضوعه تئوری مجموعه استاندارد،به جز اصل تساوی‌ مجموعه‌ها-یک چنین‌ متغیر‌ سوردار‌ شده وجودی دارند که وجود مجموعه مـخصوص خـود را نشان می‌دهد.

M2:

عالم سخن شامل حد‌ اقل‌ بـسیاری مـوضوعات نامتناهی قـابل‌شمارش‌ را می‌شود.

M3:

Mیـک نـتیجه منطقی از‌ یک‌ قضیه‌ ریـاضیاتی مطابق M2,M1 می‌باشد.۱۴ ۴-۳

هیچ قانون منطقی قانون طبیعت نیست و هیچ قانون طبیعت قانون‌ منطق نیست.

پاسخ به‌ سؤال‌ آیا قوانین مـنطق قـوانین طبیعت هستند؟می‌تواند صورت‌ زیر اثبات شود.

نام‌های،قوانین منطق،و”قوانین طـبیعت‌”از دامـنه‌ مـنطق‌ و از دامـنه‌ علوم طـبیعی اتخاذ شده‌اند ولی آنـها از دامـنه کاربردشان اتخاذ نشده‌اند بنابراین هرچند قوانین هر‌ عالم‌ A که در علم دیگری مثل B به کارگرفته‌ شده است که نـمونه‌های‌ آنـ‌ مـتغیر می‌توانند الفاظ یا نمادهایی باشند برای‌ ذواتی‌ کـه‌ مـتعلق‌ بـه حـوزه‌های مـشخص یـک عالم خاص B هستند‌ و چنین‌ قانونی قانون علم خاص B نیست.بنابراین هرچند متغیرهای X-X ممکن‌ است به عنوان‌ علایمی‌ برای هستومندهای فیزیکی تعبیر شوند‌ هرکدام‌ از ذوات(هستومندهای)منفرد که‌ باشند‌ مثل‌ ذره‌های ابتدایی یـا نمونه‌های‌ انتزاعی مثل توده‌ها‌ یا‌ زمینه‌ها و هم‌چنین هستومندهای فیزیکی از این‌ قانون پیروی می‌کنند،با این حال این‌ قانون‌ می‌تواند هرگز یک قانون علم‌ فیزیک نباشد.

یک دلیل عمده آن است‌ که‌ همه قوانین منطقی، هر ساختار تجربی‌ سازگار‌ را‌ مـستثنی نـمی‌کند، ولی هر قانون فیزیک (و طبیعت) این کار را می‌کند.از طرف دیگر هیچ قانون فیزیک (و‌ طبیعت) نمی‌تواند‌ یک قانون‌ منطق باشد. این به علت‌ آن‌ است‌ که هیچ قانون‌ فیزیکی‌ نمی‌تواند، به این‌ طریق با جایگزین‌ کردن‌ اصـطلاحات فـیزیکی به وسیله متغیرهایی که ما یک‌ قانون منطقی قرار دادیم، به صورت جهانی درآید .این‌ مسئله‌ این معنا را می‌دهد که هیچ قانون‌ فیزیکی‌ یک مثال‌ جـایگزینی‌ شـده‌ از یک قانون منطق‌ نیست.بنابراین‌ یک قـانون فـیزیکی مثل ( F-maقانون دوم نیوتن) هر چند به‌طور قطع از قانون اینهمانی X-X و مصداق‌ آن F-F پیروی می‌کند، نمی‌تواند در یک‌ قانون‌ منطقی‌ به‌ وسیله‌ جایگزین کردن سه‌ علامت‌ فیزیکی‌ با سه متغیر مختلف نـتیجه شـود.همین مسئله برای سایر قـوانین عـلوم تجربی‌ مثل قوانین شیمی یا زیست‌شناسی‌ نیز‌ وجود‌ دارد.

یک ملاحظه‌ای قیاسی در رابطه با ریاضیات‌ می‌تواند‌ صورت‌ بگیرد. تا‌ زمانی‌ که‌ اصطلاحات آن یک تعبیر فیزیکی نداشته باشند.از طرف دیگر جایگزین کردن اصطلاحات فیزیکی در معادله شـرودینگر shrodinger بـه‌ وسیله متغیرهای متافیزیکی به یک قانون ریاضیات ختم نخواهد شد بنابراین‌ دامنه‌های‌ ریاضیات به عنوان هستومندهای دامنه کاربرد ریاضیات شمرده‌ می‌شوند. ولی همان‌طورکه در بالا گفته شد “قانون منطق‌”و هم‌چنین‌” قانون ریاضیات‌ “از دامنه‌ی کاربردشان گرفته و اقتباس نـشده‌اند و از دامـنه‌ صحیحشان گرفته شده‌اند.

به پیـروی از ملاحظات‌ بالا‌ روشن است که دامنه صحیح منطق به‌ روشنی می‌تواند از دامنه علوم طبیعی تشخیص داده شود. قوانین منطق و قـوانین طبیعت دامنه صحیح مشترکی ندارند.این مسئله می‌تواند خود را در کاربردهای علمی پنـهان‌ کـند.بنابراین‌ ایـن اتفاق خواهد افتاد که یک قانون‌ مخصوص فیزیک واقعا یک قانون طبیعت نباشد ولی صرفا یک قانون‌ منطقی جامه‌ی مـبدل ‌ ‌یـک قانون فیزیکی را‌ می‌پوشد.در‌ بسیاری از زمینه‌های‌ فیزیکی ما می‌توانیم‌ ساختارهای‌ فرموله شده‌ی منطقی را در اصطلاحات‌ علوم فـیزیکی پیـدا کـنیم.برای مثال ساختارهای جبری وضعیت‌های پایدار در مکانیک کوانتوم و کلاسیک چیز دیگری جز جبر lindenbaum-Tarski حسابان‌ منطق‌ گـزاره‌ای که در اصطلاحات‌ مکانیک‌ کلاسیک یا کوانتوم‌ فرمول‌بندی شده هست نمی‌باشد.

این ساختارها قوانین صحیح طبیعت نـیستند و آنها نمی‌توانند به وسـیله‌ شواهد تـجربی داخل دامنه کاربردشان ابطال شوند.

۴) پاسخ به اعتراضات:

این درست است که قوانین منطق قابل‌ اجرا‌ برای هر موضوعی هستند و با علوم طبیعی و در

نتیجه نسبت به هدی موضوعاتی که به وسیله قوانین‌ طبیعت توصیف و قاعده‌مند شـده‌اند،و به علاوه آنکه این اعتراضات از قوانین منطق پیروی‌ می‌کنند.ولی‌ از این‌ نظر این معنا را نمی‌دهد که قوانین‌ منطق،قوانین طبیعت هستند.ازاین‌رو همان‌طورکه در پاسخ گفته شد، نامهای‌”قانون منطق‌” و “قانون طبیعت‌” از دامنه‌ کاربردشان گرفته نشده‌اند و نه فقط قـوانین مـنطق قوانین طبیعت می‌باشند بلکه‌ قوانین‌ طبیعت‌ هم‌چنین‌ قواعد اخلاق هم می‌باشند.زیرا اعمال انسانی از قوانین طبیعت پیروی‌ می‌کند. بنابراین،این نام‌ها،”قوانین منطق‌”،”قوانین طبیعت‌”از دامنه‌های‌ صحیح مخصوص خود رشته‌هایی ‌‌گرفته‌ شده‌اند که مختلف هستند.نقل‌ قول از کانت این ادعـای غـلط را نمی‌سازد که قوانین‌ منطق‌ قوانین‌ طبیعت‌ هستند. آن ادعا می‌گوید که قوانین منطق برای همه موضوعات قابل اجرا هستند. اما یک مشکلی همراه نظریه‌ قوانین کانت به‌طور کلی وجود دارد. آیا او فکر می‌کند کـه یـک قانون منطق‌ پیشینی فقط قوانین ساختار‌ پیشینی‌ فکر‌ ما هستند. از این روبه‌روشی قیاسی ادعا می‌کند که‌”قوانین طبیعت‌” فقط یک قوانین(ساختارهای)ذهن انسانی هستند که آنها را برمبنای‌ طبیعت طراحی می‌کنند. در هر صورت ما نـمی‌توانیم ایـن نـگاه سوبژکتیو یا ایده آلیست را درباره قـوانین‌ طـبیعت بـپذیریم، در رابطه با قوانین منطق‌ کانت متذکر می‌شود که فقط اصل عدم تناقض از نظر او که همه قوانین‌ دیگر منطق می‌توانند به آن تحویل شوند و بـیان مـی‌دارد کـه این قوانین‌ تحلیلی‌ هستند.اولین‌ تحویل به‌طور تئوریکی برهان درسـتی نـیست، و به‌ طور دلالت‌شناسانه هیچ انتخابی از یک اصل به وسیله تمایز و تحدیدی‌ وجود ندارد. دومین قابل فهم است، از این‌رو کانت منطق را به‌ عنوان قیاس‌گرایی می‌فهمید (و بـه‌طور آشـکارا هـیچ‌ شناختی‌ از گسترش‌ بیشتر منطق در رواقیان، اسکولاستیک و لایب نیتز نیز نداشت) اما هر وجه قـیاس‌گرایانه مجبور بود از این اصل پیروی کند که محمولات در نتیجه (حد موضوع و حد محمول)در محمولات مقدمات لحاظ‌ شده‌اند. (حد‌ موضوع،حد مـحمول وحـد وسـط) و این فقط مفهوم کانتی به دست‌ آمدن (آشکار شدن و پیدا شدن)نتیجه از مقدمات اسـت کـه او تحت عنوان‌ تحلیلی توضیح می‌داد. به کار گرفتن ‌”شرایط تحلیلی‌” قیاس‌ها در منطق‌ گزاره‌ای مستلزم‌ آن‌ است‌ که هیچ متغیر گزاره‌ای در‌ نـتیجه‌ نـباشد (در‌ نـتیجه‌ی‌ یک استلزام معتبر) که قبلاً در مقدمات نباشند این یک معیار ربط جالب‌ است که مـعیار ارسـطویی ربـط نامیده می‌شود و در جای‌ دیگر‌ بحث‌ شده‌ است. برای بخش تسویرسازی PL1 یک استلزام قیاسی تحلیلی‌ مناسب‌ نیست،ازاین‌رو‌ آن از ایـنکه حـدهای جـدیدی معرفی کند منع شده است، یعنی تعمیم وجودی قالب و بسیاری انواع مشابه دیگر در‌ منطق‌ نـسبت‌ می‌باید‌ مـمنوع شده باشد.

۲-۴- هرچند منطق عمومی‌ترین علم با توجه به کاربری‌ است و قوانین منطق‌ عناصر عالم سـخن عـلوم تـجربی را اداره می‌کنند با این حال این معنی را نمی‌دهد که‌ قوانین‌ منطق‌ قوانین طبیعت هستند.۶۴یک دلیـل آن ایـن‌گونه‌ بیان شد که:دامنه کاربرد با دامنه‌ صحیح‌ که‌”قانون منطق‌”و”قانون طبیعت‌” اتخاذ شده‌اند یکی نیست.

دلیل دیگر آنـکه قـوانین طـبیعت همه شرایط را برای قوانین اصیل‌ برآورده‌ می‌کنند،ولی‌ قوانین‌ منطق همه آنها را برآورده نمی‌کنند،دلیل دیگری که‌ می‌تواند بـه کـار گرفت از‌ آنچه‌ در‌ قسمت ‌”دامنه کاربرد” گفته شد به دست‌ می‌آید:

همه قوانین منطق به‌طور برابر قابل کـاربری نـسبت بـه همه‌ زمینه‌های‌ تحقیق‌ نیستند.در‌ حالیکه به نظر می‌رسد همه قوانین CL قابل کاربرد در ریاضیات کلاسیک و تئوری مـجموعه‌ بـاشند‌ و هـمه قوانین CL قابل کاربرد در همه علوم تجربی نیستند.

و به علاوه برخی‌ پیش‌فرض‌های‌ CL‌ قوانین مـنطق نـیستند ولی پیش‌ فرض‌های قوی برای قالب(حساب)می‌باشند مثل اینکه هر گزاره(محمول) می‌تواند با دیگری‌ ترکیب‌ شود.

“قوانین منطق عناصر عالم سخن علوم طـبیعی را اداره مـی‌کنند”نباید غیرقابل فهم باشد.جهت‌”اداره کردن‌ چیزهای‌ معین‌”حد‌ اقل می‌تواند دو معنی مختلف داشته باشد.

(iقاعده‌مند کـردن بـعضی چیزها به وسیله اعتبار علت‌ و جهت آن.

(iiقـاعده‌مند کـردن بـه معنای آنکه اشیاء قاعده‌مند،قاعده را برآورده‌ می‌کنند.

اینجا فقط‌ معنای‌ دوم آن فـهمیده شـده است.یعنی هیچ‌چیزی غیر از اشیاء طبیعی (برای مثال اجسام مادی) قوانین منطق را برآورده‌ نمی‌سازند، یعنی‌ اشیاء سـازگاری هـستند (خصوصیات ناسازگاری در یک لحظه ندارند) که اگـر مـقدمات را اشباع و بـرآورده‌ سـازند نـتیجه‌های منطقی را نیز اشباع‌ می‌کند و غیره.

وقتی گفته می‌شود کـه قـوانین طبیعت،عناصر عالم سخن علوم‌ طبیعی‌ را قاعده‌مند می‌سازند آنگاه قوانین طبیعت در معنای ( L2قـانون مـانند ساختمان‌ طبیعت)یا در‌ معنای‌ L4 فهمیده می‌شود (قانون صدق).

۳-۴- با توجه بـه این‌ اعتراض‌ متوجه‌ دو نـکته می‌شویم:

اول ایـن اعتقاد که قوانین‌ منطق‌ مـی‌توانند بـوسیله‌ی واقعیت سازگار توجیه و یا دوباره اصلاح شوند دوم اینکه آیا عدم‌ استدلالی‌ از منظر این‌ دست نـگاه مـی‌تواند‌ نشان‌ دهد که‌ قوانین‌ مـنطق‌ قـوانین طـبیعت نیستند.با توجه به نـگاه اول‌ یـک‌ نفر می‌تواند نشان دهـد کـه عقیده راسل به نتایج پوچ‌ و ناموجهی منتج‌ می‌شود.هرچند‌ یک نفر می‌تواند بپذیرد که گـزاره‌های‌ تحقیق‌پذیر‌ بـه شکل متناهی راجع‌ به (قسمت‌ متناهی) اعداد طـبیعی (یعنی‌ جدول ضـرب) نقش‌های بنیه مـستقیم را (ادارک‌ حـسی) برای فهم ابتدایی‌ بازی می‌کنند یا حـتی این کار را برای ساختن سیستم اعداد طبیعی‌ در‌ یک‌ روش ساخت‌گرایانه انجام می‌دهد.۸۴این به‌ وضوح‌ غیرقابل‌ تـصرف‌ و غـیرمحسوس به‌ نظر‌ می‌رسد که چنین‌”توجیهی‌”را نـسبت‌ بـه‌ سـایر دامنه‌های ریـاضیات گـسترش دهیم. هم‌چنین برای کـلیت و عـمومیت قوانین‌ منطق قابل قبول نخواهد بود.بنابراین،این قانون‌ منطقی‌ که همه‌ی نتایج‌ منطق از مقدمات صادق،صادق‌ هستند‌ بوسیله ادراک‌ حـسی‌ قـابل‌ تـوجیه‌ نخواهد بود.با توجه به‌ عقیده‌ی کواین یک نـفر مـی‌تواند جـهت داشـتن یـک‌ سیستم مـنطق ضعیف‌تر موافقت کند (بدون هم‌ارزشی) یعنی انحراف از منطق‌ کلاسیک، به‌ جهت کاربردی برای دامنه‌های معین بیرون‌ از‌ منطق، برای‌ مثال‌ ریاضیات‌ از نظر شهودگرایی، ولی‌ از‌ این نظر این معنا را نمی‌دهد که یک نفر نمی‌تواند هـر قانون منطق را اصلاح کند. برای مثال‌ در‌ این‌ معنا یک نفر نمی‌توند”اصل نتیجه منطقی یا یک‌ خوانش‌ متساهلانه‌ از‌ اصل‌ عدم‌ تناقض‌ را اصلاح کند.از طرف دیگر یک نفر می‌تواند حتی آنچه که‌ یک طرح عمومی از هـمه مـنطق‌های فراسازگار هست بپذیرد. نپذیرفتن‌ (اعتبارش را رد نمی‌کند و تنها مرتبط بودن آن‌ را رد می‌کند) این استنباط که از یک متناقض هر جمله‌ای می‌تواند نتیجه گرفته شود یک قضیه منطق‌ کلاسیک است.مطابق با قید و محدودیت بالا چنین نتیجه‌ای یـک بـخش‌ قابل جایزگزین می‌باشد. این حرکت حتی‌ به‌ وسیله یک منطق‌دان کلاسیک‌ یک مثل تارسکی مورد انتقاد قرار گرفته بود که:

«یک تئوری،غیرقابل دفاع می‌شود اگر در نتیجه آن دو جمله مـتناقض‌ در آن بـیابیم…»کسانی که با منطق مدرن آشـنا‌ هـستند،پاسخ‌ دادن به سؤال، به روش زیر متمایل شده‌اند،یک قانون منطقی شناخته شده نشان می‌دهد که یک تئوری که ما را قادر می‌سازد که دو جمله‌ متناقض‌ را نتیجه بگیریم، هم‌چنین ما را‌ قـادر‌ مـی‌سازد که هر جمله‌ای را نـتیجه بـگیریم…من برخی‌ شک‌هایی دارم که آیا این جواب شامل یک تحلیل مناسب است یا نه.من‌ شکر می‌کنم که افرادی که‌ منطق‌ جدید و مدرن را‌ نمی‌شناسند‌ کمی متمایل‌ شده‌اند که یک تئوری ناسازگاری را بپذیرند…و شاید این حـتی آنـهایی را که به قوانین منطق احترام می‌گذارند را دربر گیرد که استدلال برمبنای یک‌ فرض متناقض بنا شده است و تقریبا‌ به مانند یک پارادوکس هست.»

راجع به دومین نکته این می‌تواند گفته شود که مـستقل از عـقاید راسل‌ و کـواین،قوانین منطق شرایط لازم برای اشباع قوانین طبیعت را فراهم‌ نمی‌کنند و بنابراین نمی‌تواند‌ قوانین‌ طبیعت باشد.قوانین‌ منطق خصوصیات‌ ثابت و حفظ شده را توصیف نـمی‌کنند زیرا آنها هر خصوصیتی را اجازه‌ ظهور می‌دهند(هیچ‌چیزی را به جز‌ آنهایی را که نـاسازگار هـستند رد نـمی‌کند) قوانین منطقی دارای محتوای تجربی آگاهی‌بخش‌ نیستند.آنها به‌ واقعیت‌ عینی مستقل ذهن در معنای تجربی-هستی‌شناسانه ارجاع‌ نمی‌کنند ولی به هستومندهای مفهومی عینی ارجـاع می‌کنند.

۴-۴- جواب ‌ ‌بـه این اعتراض ‌‌از‌ بخش دامنه‌ی کاربرد روشن است.قوانین‌ منطق قوانین طبیعت نیستند.ابتدا به خاطر آنـکه مـورد اولیـ‌ و پیشین‌ کامل‌ است،و دومی کامل نیست.دوم اینکه،محدودیت‌های کاربرد (ii),(i) قوانین منطق را بی‌اثر یا محدود نکرده است‌ ولی کـاربرد آنها را محدود می‌کند و شاید بعضی پیش فرض‌ها را محدود سازد‌ که قوانین منطق نیستند ولی‌ قـالب‌ و شکل برگزاره‌ها و بر مـحمولات مـورد استفاده در قوانین‌ حکومت می‌کنند.این واقعیت که قوانین منطق قابل استعمال و اجرا در حوزه‌های قطعی علوم تجربی نیستند و در سایر حوزه‌ها (به خصوص در علوم صوری) بدون‌ هیچ مشکل و یا محدودیتی قابل اجرا هستند نشان‌ می‌دهد که به خـاطر محدودیت در اجرا و عمل بی‌اثر و پوچ نشده‌اند: واقعیت‌های تجربی به یک انتخابی از قوانین منطق برای کاربرد مخصوص‌ دست‌ می‌زنند‌ تا اینکه به تخطئه بینجامد.و ازاین‌رو قوانین انتخابی منطق‌ به دامنه صحیح منطق تعلق دارد.

۵-۴- پاسخ دادن به این اعـتراض و بـه خصوص به نظریه بیان شده در مقدمه‌ و در قطعات

بعدی‌ قوانین‌ تفکر Boole شبیه به قسمت‌های داده شده در ۳.۴ باری راسل می‌باشد.کلیت و عمومیت قوانین منطق حتی در بهترین تجارب‌ آزمایشی عملگرهای ذهن انسانی نمی‌تواند فورا به وسـیله ایـن عملگرها در معنای‌ تجربه‌ انسانی سوبژکتیو توجیه شود.ازاین‌رو،همان‌طورکه از تاریخ ریاضیات و علوم به خوبی شناخته شده است، بعضی گزاره‌ها که به‌ عنوان روشن‌ترین اکسیوم‌ها با نتایج تجربی ناسازگارو ناهماهنگ می‌شود.

از طرف دیگر این مـی‌تواند مـورد‌ توجه‌ قرار‌ بگیرد که عملکر روشن‌ ذهن نقشی‌ برای‌ فرآیند‌ یادگیری و فهم قوانین منطق بازی می‌کند.اینکه‌ قوانین منطق مستقل از قوانین طبیعت یا قوانین تفکر هستند (یا اعمال‌ ذهن)در یک معنای مهم می‌تواند‌ از‌ یـک‌ اسـتدلال آورده شـده به وسیله‌ Heldaxe که علیه‌ مـاتریالیسم‌ مـوضع‌گیری دارد،آورده شـود که:

“اگر ماتریالیسم صادق هست،به نظر می‌رسد که ما نمی‌توانیم بدانیم‌ که صادق است و اگر عقاید من‌ نتیجه‌ روندهای‌ شیمیایی مستمر در ذهن‌ من هستند،آنها بـوسیله قـوانین شـیمی تعیین می‌شوند‌ و نه به وسیله قوانین‌ منطق‌”.

یک نفر ممکن اسـت اعـتراض کند که کامپیوترها مطابق با قوانین منطق‌ کار می‌کنند.ولی دراین‌ اعتراض‌ یک‌ پاسخ ساده نهفته است که کامپیوتر به وسیله انـسانها بـرنامه‌ریزی و سـاخته‌ شده‌ است به شیوه‌ای که از قوانین‌ CL استفاده می‌کند.

معمولاً با برخی مـحدودیت‌های مخصوص مثل قاعده‌های حل‌ کردن، عبارت‌های‌ Horn‌ و غیره که به خاطر جلوگیری از نتایج حشور و زاید هستند. یک نفر‌ می‌تواد‌ یک‌ کامپیوتر بـسازد کـه نـتایج نامعتبر ارایه دهد یا نتایج معتبر را به صورت تصادفی بیرون‌ می‌دهد،این‌ نـشان‌ مـی‌دهد که‌ کامپیوتر در طبیعتش دارای قوانین منطق نیست.و به علاوه هم کامپیوتر و هم انسانها (منطق‌دانان، ریاضی‌دانان‌ و دانشمندان) می‌تواند مرتکب‌ اشتباهات منطقی (و دیگر اشـتباهات)می‌شوند و ایـن روشـن است که‌ از طریق قوانین منطق‌ ما‌ استدانداردهای‌ معتبر بودن را می‌فهمیم و آنها از قـوانین طـبیعت و جـهان فیزیکی استقلال دارند و مستقل‌ هستند.

*این مقاله ترجمه‌ای است از:

Mittelstaedt,Peter,”Are the laws of logic laws of Nature?”,in,Laws‌ of‌ Nature,‌ sPringer Berlin Heidelberg Publisher,2005,PP.47-26.