[مقالات قدیمی]:روایت مجملی از سهم برتراند راسل در فلسفه علمی معاصر

از: نجف دریابندری
برتراند راسل در آغاز بحث مفصل خود دربارۀ تطور فلسفه غرب می گوید «فلسفه کلمه ای است که به معانی بسیار، برخی وسیع و برخی محدود، به کار رفته است. من می خواهم این کلمه را به معنای وسیعی به کار برم …». از این گفته ممکن است این تصور پیش بیاید که راسل دامنۀ فعالیت فلسفه را «بسیار وسیع» می دانست. اینطور نیست. شمول تعریف او فقط نشان دهندۀ وسعت نظرگاه تاریخی او است.

درحقیقت عمر فعالیت فلسفی خود راسل صرف این شد که دامنۀ فلسفه را محدود کند، و فلاسفه را از زمینه هایی که حقاً به علم تعلق دارد بیرون براند. اکنون ما خواهیم کوشید که فعالیت فلسفی راسل را، در زمینۀ محدود فلسفۀ علمی و نظری، اجمالاً مرور کنیم.

در پایان قرن نوزدهم دو تعبیر از ماهیت قضایای ریاضی در مغرب زمین رایج بود. تعبیر اول، که نظرگاه پیروان کانت بود، می گفت که صدق و کذب قضایای ریاضی امری است «از پیشی» (a priori) و ترکیبی. تعبیر دوم، که نظرگاه مکتب تجربی انگلیسی خصوصاً جان استوارت میل بود و در نقطۀ مقابل تعبیر اول قرارداشت، می گفت که هر قضیۀ ریاضی یک تعمیم تجربی است که اعتبارش را مدیون وفور موارد مصداقیۀ خویش است. این دو مطلب را می توان اندکی توضیح داد. قضیۀ «۴= ۲ + ۲» را در نظر بگیرید. ما عموماً این قضیه را تصدیق می کنیم. ولی آیا مبنای تصدیق ما چیست؟ به نظر می رسد که ما به دفعات زیاد دو چیز را در کنار دو چیز دیگر گذاشته ایم و دیده ایم که حاصل چهار چیز است؛ پس این تجربه را تعمیم داده ایم و گفته ایم که قضیۀ «دو به علاوۀ دو مساوی است با چهار» به طور کلی صادق است. یعنی از راه استقرا به این نتیجه رسیده ایم. معنی ضمنی این نکته البته این است که امکان دارد یک بار هم دو را با دو جمع کنیم و ببینیم که حاصل چهار نیست، بلکه مثلاً پنج است. پس صدق قضیۀ ما ضرورت ندارد، بلکه قویاً محتمل است. این نظر جان استوارت میل است.

اما به تعبیر کانت صدق قضایای ریاضی نیازی به تأیید موارد مصداقیۀ آن قضایا ندارد، و ایقان آن در حدی است که هرگز از راه استقرا حاصل نمی شود. صدق و کذب صفات فطری قضایاست، مانند سفیدی که صفت برف است و سیاهی که صفت ذغال است. یا به عبارت دیگر صدق و کذب قضایای ریاضی به طور «از پیشی» مقدر است و مأخوذ از تجربه نیست.

راسل هیچ کدام از این دو تعبیر را رضایت بخش ندید. زیرا که یکی از ضرورت قضایا صرف نظر می کرد، و دیگری مبنای این ضرورت را به جایی احاله می داد که از حدود دانش بشری بیرون است. نخستین کار مهم راسل کوشش برای حل این مسئله بود.

راه حل راسل این بود که ریاضیات را به سطح منطق پایین بیاورد، و قضایای ریاضی را برحسب تصورات منطقی مورد تجزیه و تحلیل قرار دهد. برای این کار بایستی اولاً ثابت کند که مفاهیم اساسی ریاضیات قابل ترجمه به تصورات منطقی هستند؛ و ثانیاً لازم بود که خود منطق را دیگرگون کند، چنانکه ساختمان آن توانایی حمل قضایای ریاضی را داشته باشد. قدم اول را راسل در کتاب Principles of Mathematics (1903) برداشت. قدم دوم در Principia Mathematica برداشته شد که آن را راسل همراه با استادش آلفرد نورت وایتهد نوشت (ما کتاب اول را «اصول ریاضیات اول» و کتاب دوم را «اصول ریاضیات دوم» خواهیم نامید. کتاب اخیر شامل سه مجلد بزرگ بود که به ترتیب در سال های ۱۹۱۰، ۱۹۱۲ و ۱۹۱۳ منتشر شد.)

«اصول ریاضیات دوم» عمدتاً به زبان فنی نوشته شده بود، چنانکه فقط ریاضی دانها به مطالب آن دسترسی داشتند. بعداً راسل به سبب اعتراض به جنگ جهانی دوم به مدت شش ماه به زندان افتاد. در زندان کتاب دیگری نوشت به نام «مدخل فلسفۀ ریاضی» Introduction to Mathematical Philosophy و در این کتاب کوشید تا آنچه را در «اصول ریاضیات دوم» گفته شده بود به زبان غیرفنی تشریح کند.

راسل در این کتاب می گوید که «ریاضیات و منطق در گذشته دو رشتۀ کاملاً متمایز بوده اند. ریاضیات به علم مربوط بوده است، و منطق به زبان یونانی. در عصر جدید هر دو رشته رشد کرده اند: منطق ریاضی تر شده است، و ریاضیات منطقی تر. نتیجه این است که امروز دیگر هیچ امکان ندارد خط فاصلی میان آنها بکشیم؛ این دو در حقیقت یکی شده اند. فرق آنها فرق پسر و مرد است. منطق جوانی ریاضیات است و ریاضیات پختگی منطق …»۲ این تحول عمدتاً بر اثر کار خود راسل صورت گرفت.

راسل گفت که قضایای ریاضی مأخوذ از تجربه و ادراک نیست؛ زیرا که این قضایا اصولاً حاوی معرفت نیستند، بلکه در تحلیل آخر تکرارهایی هستند از قبیل «آدمی آدمی است،» منتها به صورت بغرنج.

«اگر از تعاریف (که غرض از آنها فقط اختصار است) صرف نظر کنیم، می بینیم که رمزهای [ی ریاضی] کلماتی هستند از قبیل یا و نه و تمام و بعضی، که برخلاف کلمۀ سقراط به چیزی در عالم واقع راجع نیستند. معادلۀ ریاضی می گوید که دو گروه از رمزها یک معنی دارند، و مادام که از حدود ریاضیات محض تجاوز نکرده باشیم این معنی باید بی دانستن چیزی دربارۀ آنچه قابل ادراک است، فهمیده شود. بنابرین … حقیقت ریاضی مستقل از ادراک است، ولی نوع خاصی از حقیقت است که فقط با رمزها سر و کار دارد.»

و نیز «میان قضایائی از قبیل دو فلان وجود دارد. جز صورت هیچ چیز مشترکی موجود نیست. ارتباط نشانۀ ۲ با معنای قضیه ای که این نشانه در آن به کار رفته است بسیار بغرنجتر است از ارتباط نشانۀ سرخ با معنای قضیه ای که این نشانه در آن به کار رفته است. به یک معنی، می توان گفت که نشانۀ ۲ هیچ معنایی ندارد؛ زیرا وقتی که این نشانه در بیان صحیحی به کار رفته باشد، در معنای آن بیان هیچ جزئی که این نشانه بدان راجع باشد وجود ندارد. اگر بخواهیم می توانیم به سخن خود چنین ادامه دهیم که اعداد ابدی اند و تغییر ناپذیر [و «ازپیشی»] و قس علی هذا. ولی باید این نکته را نیز بیفزاییم که اعداد چیزی جز تصورات منطقی نیستند.»۳

ریاضیات چون در حقیقت تفکر محض است و برای مسائل خود جوابهای متیقن دارد، مکرر برای فلاسفه این توهم را پیش آورده است که هر مسئله ای را که انسان بتواند طرح کند می توان از راه تفکر محض حل کرد، یا حداقل آن را در دستگاه کاملی که مبتنی بر اصول فکری محض باشد جای داد. راسل عقیده داشت که از فیثاغورس و اوقلیدس گرفته تا کانت، همه درباب ارزش فهم و بینشی که ریاضیات می تواند برای شناسایی دنیا و مافیها به انسان بدهد گزافه گفته اند. راسل می گوید که «به نظر من بزرگترین منشأ اعتقاد به حقیقت کامل و ابدی، و نیز اعتقاد به دنیای معقول و نامحسوس، همین ریاضیات است. هندسه از دایره های کامل بحث می کند، و حال آنکه هیچ شئ محسوسی کاملاً مدور نیست …»۴ از اینجا این نظر پیش می آید که برهانهای دقیق و کامل با «شئ آرمانی» (در مقابل شئ محسوس) قابل انطباق است. پس امری است طبیعی که ما بازهم پیشتر برویم و بگوییم که فکر از حس اصیل تر است و اشیای فکری یا ذهنی از اشیائی که به ادراک حسی تعلق دارند واقعی ترند. نظریات عرفانی دربارۀ نسبت زمان و ابدیت نیز به وسیلۀ ریاضیات مطلق تقویت می شود؛ زیرا که اشیای ریاضی، مانند اعداد، اگر اصولاً واقعیتی داشته باشند، ابدی هستند و در بستر زمان قرارندارند. چنین اشیای ابدی را می توان افکار خدا پنداشت … دین تعقلی، در برابر اشراقی، از زمان فیثاغورس و خاصه از زمان افلاطون تاکنون کاملاً متأثر از ریاضیات و اسلوب ریاضی بوده است.»۵ و می گوید که «نفوذ ریاضیات در فلسفه از زمان فیثاغورس تاکنون هم عمیق بوده است و هم شایان تأسف.»۶

به علاوه، راسل با کشف تناقض معروف به «نظریۀ طبقات» اساس ایقان ریاضی را متزلزل ساخت. تناقض نظریۀ طبقات این است: غالب افراد عضو یک طبقه هستند؛ مثل مرد که عضو طبقۀ مردان است. اما غالب طبقات عضو طبقۀ خود نیستند؛ مثلاً طبقۀ مردان مسلماً خود مرد نیست. از طرف دیگر، بعضی طبقات عضو طبقۀ خود هستند. مثلاً طبقۀ چیزهای قابل شمارش خود یک چیز قابل شمارش است. اکنون طبقۀ همۀ طبقاتی را که عضو طبقۀ خود نیستند در نظر بگیرند. آیا این طبقه عضو طبقۀ خود هست یا نیست؟ در اینجا دچار تناقض می شویم. اگر این طبقه عضو طبقۀ خود باشد، این بدان معنی است که این طبقه یکی از طبقاتی است که عضو طبقۀ خود نیستند – بعنی عضو طبقۀ خود نیست. اگر این طبقه عضو طبقۀ خود نباشد، این بدان معنی است که این طبقه از طبقاتی نیست که عضو طبقۀ خود نیستند – یعنی عضو طبقه خود هست. این وضع چگونه ممکن است؟

نظیر این تناقض در زمینه های دیگر نیز به چشم می خورد. این حکایت معروف است که یک نفر از مردم جزیرۀ کرت گفت که همۀ مردم جزیرۀ کرت دروغگو هستند؛ حالا خود این شخص راستگو بود یا دروغگو؟ اگر راست می گفت، ممکن بود راستگو باشد.

برای حل این معماها راسل نظریۀ معرف به «نظریۀ سنخی» را طرح کرد. این نظریه اشیا را برحسب سلسله ای از «سنخها» تقسیم و تنظیم می کند، چنان که قولی را که نسبت به یک سنخ صادق یا کاذب باشد نتوان به نحو مفید معنی به سنخ دیگری اطلاق کرد. بدین ترتیب اگر طبقه براساس محمولی تشکیل شده باشد، هرگاه آن محمول را بر خود طبقه حمل کنیم نتیجه مفید معنی نخواهد بود یعنی مهمل خواهد بود. پس گفتن اینکه طبقۀ مردان خود مرد است غلط نیست، بلکه مهمل است. و لذا سوالی از قبیل اینکه آیا طبقۀ مردان خود مرد است (یعنی که آیا طبقۀ مردان عضو طبقۀ خود هست یا نیست،) سؤالی است بی معنی – یا به عبارت بهتر اصلاً سوال نیست.

مسئله دیگری که راسل در «اصول ریاضیات دوم» با آن دست به گریبان شد مسئلۀ دلالت عبارت وصفی بود. طرح و توضیح این مسئله چندان دشوار نیست.

از شخصی یا شئ ما می توانیم یا به اسم یاد کنیم، یا به وصف. منظور از وصف عبارتی است که خواصی را که فرضاً یا عملاً مختص شخص یا شئ مورد بحث باشد بیان کند. مثلاً می توانیم بگوییم «سعدی،» یا به جای آن بگوییم «نویسندۀ گلستان.» عبارات وصفی در مورد اشخاص یا اشیائی که وجود دارند یا وجود داشته اند مسئله ای نیست؛ اما در غیر این موارد باعث دردسر است. مثلاً «پادشاه فعلی ایالات متحدۀ امریکا» یک عبارت وصفی است. «کوه طلایی» نیز یک عبارت وصفی است. حال اگر شخصی بگوید «کوه طلایی وجود ندارد،» لابد منظورش غیر از این است که «پادشاه فعلی ایالات متحدۀ آمریکا وجود ندارد.» پس دو چیز مختلفند که وجود ندارد. ولی اگر این دو چیز وجود ندارند، ما از کجا دانستیم که دوچیزند و مختلفند؟ بنابرین وقتی که می گوییم «کوه طلایی وجود ندارد» نوعی وجود به کوه طلایی نسبت می دهیم. برای رفع این مشکل، و مشکلات فراوان دیگر در مابعدالطبیعه، راسل نظریه ای ساخت به نام «نظریۀ وصفی.»

این نظریه می گوید که عبارت وصفی یک تسهیل لغوی است و مدلول منطقی ندارد. زیرا که هر قولی که حاوی عبارت وصفی باشد قابل ترجمه است به قولی که فاقد این عبارت باشد. مثلاً قول «سعدی نویسندۀ گلستان بود» بر حسب زبان نظریۀ وصفی به این صورت در می آید:

«یک مرد و فقط یک مرد گلستان را نوشت، و آن مرد سعدی بود.» به این ترتیب بی استفاده از تسهیل لغوی «نویسندۀ گلستان،» همان مدلول جملۀ اول را بیان کرده ایم. اما کار در همۀ موارد به این سادگی نیست، و ما برای بیان قضایای بغرنجتر احتیاج به زبانی داریم که بتواند قضایا را به دقت ریاضی بیان کند. راسل در نظریۀ وصفی خود این زبان ریاضی یا علامتی را به وجود آورد. مثال ما به این زبان علامتی چنین می شود: «c هست، چنانکه جملۀ x گلستان را نوشت به ازای x=c صادق والا کاذب است، به علاوه c سعدی است.»

قسمت اول این جمله، یعنی تا قبل از کلمۀ «به علاوه،» بدین معنی است که نویسندۀ گلستان وجود دارد (یا وجود داشت، یا وجود خواهد داشت). بدین ترتیب قول «کوه طلایی وجود ندارد» به زبان نظریۀ وصفی چنین خواهد بود: «c نیست، چنانکه جملۀ x کوه است و طلایی است به ازای x=c صادق والا کاذب است.»

در این جمله گفته ایم که کوه طلایی وجود ندارد، بی آنکه عبارت وصفی «کوه طلایی» را به کار برده باشیم.
از نظریۀ سنخی راسل این نتیجه عاید می شود که اقوالی که به پایینترین ردیف سلسلۀ مراتب سنخها مربوط می شوند به افراد، یا به عبارت دیگر به جزئیات، راجعند. از طرف دیگر نظریۀ وصفی می گوید این افراد یا جزئیات، که به قول خود راسل «اثاثۀ» جهان ما هستند، فقط به وسیلۀ اسمای خاص منطقی قابل نامیده شدنند. اما چون اسمای خاص منطقی ناظر به چیزی غیر از جزئیات مشهود و محسوس نیستند، پس باید گفت که تنها جزئیاتی قابل نامیده شدنند که مورد مشاهدۀ حواس قرار گرفته باشند. از این مقدمه نظریه راسل در باب منطق به نظریۀ او در باب معرفت مربوط می شود.
راسل در سیر فلسفی دور و دراز مورد تجدید نظر قرار داد. نخستین بار در کتاب «مسائل فلسفه» Problems of Philosophy (1912) به موضوع معرفت پرداخت، و آخرین بار شاید در «سیر فلسفی من» My Philosophical Development (1959). در فاصلۀ میان این دو اثر، در کتابها و مقاله های گوناگون مکرر به این موضوع بازگشته است.

راسل می گوید که معرفت ما از جهان خارج متشکل از تأثرات حسی ما، یا «دریافت» های ماست. منتها می گوید که مواد مشکلۀ جهان منحصر به تعداد محدود دریافتهای دریافت شده – یعنی دریافتهای افراد بشر – نیست؛ بلکه تعداد نامحدودی هم دریافتهای دریافت نشده هست – که ما آنها را «درنیافت» خواهیم نامید.

فرق میان دریافتها و درنیافتها جز این نیست که درنیافتها به وسیلۀ افراد معینی احساس و ادراک نشده اند. به عبارت ساده، راسل می گوید که در هر لحظه ای، هر فرد مشاهده کننده ای یک جهان سه بعدی خاص خود را ادراک می کند که دارای مکان – یا مکانهای – خاص خویش است، (زیرا که راسل بین مکان حس لامسه و مکان حس باصره قائل به تمایز می شود.) راسل هر کدام از این جهانهای خصوصی را یک «منظر» می نامد. بنابرین به تعداد افراد ادراک کننده، منظر ادراک شده وجود دارد. اما بنا بر آنچه درخصوص نامحدود بودن تعداد درنیافتها گفتیم، تعداد نامحدودی هم نظر ادارک نشده وجود دارد. یا به عبارت دیگر تعداد نامحدودی موضع اشغال نشده وجود دارد، که هرگاه افراد ادراک کننده در آن مواضع قرار بگیرند منظره هایی متناظر با آن مواضع ادراک خواهند کرد. بر این اساس، شئ مادی یا عینی را می توانیم به عنوان مجموعه ای از دریافتها، که شامل درنیافتها نیز باشد، تعریف کنیم. ودر حقیقت هر شئ خاصی عبارت است از آن دریافتهایی که صفات و مشخصات ممکن آن شئ را تشکیل می دهند. و چون ماهیت هر دریافتی چیزی جز یک «رویداد» نیست، پس شئ مادی چیزی نیست مگر بسته ای از رویدادهای مختلف از منظر خاص. و این منظرهای سه بعدی خود نیز به ترتیب سه بعدی نسبت به یکدیگر قرار گرفته اند، و لذا باید گفت که مکان مادی دارای شش بعد است. پیداست که تفصیل این نظریه بسیار بغرنج خواهدبود، و باید دانست که خود راسل نیز آن را به کمال نپرورانده است.

***
راسل کوشید تا توهم فلاسفه را دربارۀ حدود عمل و توانایی فلسفه برطرف کند. راسل گفت که منطق ابزار کار فلسفه است، ولی تا زمان ما این ابزار برای گشودن معضلاتی که بر عهده اش گذاشته می شد دقت و توانایی کافی نداشت. به علاوه تا به حال فلاسفه دچار این توهم بوده اند که فلسفه متعهد است برای هر سوالی یک جواب متیقن پیدا کند. نظریۀ وصفی برای این طرح شد که توانایی و دقتی را که منطق لازم داشت به آن بدهد. بدین ترتیب مسائل مابدالطبیعی وقتی که با این ابزار مورد تجزیه و تحلیل قرار بگیرند ماهیت خود را آشکار می کنند، و در حقیقت معلوم می شود که قسمت عمدۀ این مسائل فی الواقع مسئله نیستند، بلکه بر اثر اشتباه دستوری (گرامری) بیش از دو هزار سال ذهن فلاسفه را به خود مشغول داشته اند. از طرف دیگر، باید اعتراف کرد که بسیاری مسائل هست که برای ما اهمیت اساسی دارند، و معهذا توانایی عقلی ما، و امکانات تجزیه و تحلیل ما، برای یافتن جوابهای قاطع آن مسائل کافی به نظر نمی رسد. اما این امر نباید باعث شود که ما بپنداریم «یک طریق تفکر عالیتر هم وجود دارد که به واسطۀ آن ما می توانیم حقایقی را که از نظر علم و عقل پنهان مانده اند کشف کنیم.»۷ راسل می گوید «من شخصاً عقیده ندارم که فلسفه بتواند صحت یا بطلان احکام دینی را اثبات کند؛ اما از زمان افلاطون تاکنون اغلب فلاسفه وظیفۀ خود دانسته اند که دلایلی برای اثبات بقای روح و وجود خدا اقامه کنند. هر فیلسوفی به دلایل اسلاف خود ایراد گرفته است. توماس قدیس دلایل انسلم قدیس را رد کرده است، و کانت دلایل دکارت را. و بعد هر کدام دلایلی خاص خود ساخته اند. و برای آنکه دلایل خود را معتبر جلوه دهند، ناچار شده اند در منطق مغالطه کنند و ریاضیات را به عرفان بیالایند، و مدعی شوند که تعصبات عمیق آنها اشراقی است که از آسمان بر ایشان حواله شده.»۸

بسیاری مسائل هست که در فلسفه برای آنها جوابی نیست: اما برای کسانی که قصد خیالبافی نداشته باشند یک جواب بسیار خوب هست: «از نقطۀ نظر فلسفه، کشف اینکه فلان مسئله جواب ندارد خود جوابی است به کمال هر جوابی که در حد امکان باشد.»۹

«عدد چیست؟ زمان و مکان چیستند؟ روح چیست؟ ماده چیست؟ من نمی گویم که می توان همینجا و هم اکنون به این مسائل کهن پاسخ داد، ولی می گویم روشی کشف شده است که به وسیلۀ آن می توانیم، مانند علم، مرتباً به حقیقت نزدیک شویم؛ و در این روش هر مرحلۀ جدیدی از اصلاح مراحل گذشته – و نه از رد کردن آن – نتیجه می شود.»۱۰

بدین ترتیب راسل میدان عمل فلسفه را محدود می کند و می گوید آنجا که معلومات کافی در دست نیست، یا ابزار کار ما دقت و قوت کافی ندارند، باید حکم را معلق گذاشت تا وسیله فراهم شود. این وضع ما را در بسیاری از مسائل مهم به حال شــک باقی می گذارد. و شک دردناک است. «… اما اگر بخواهیم بی کمک افسانه های تسلی بخش شاه پریان زندگی کنیم، باید تاب و توان این درد را داشته باشیم.»۱۱

***

تحرک فکری و توانایی ترک مواضع غیرقابل دفاع از مشخصات رسال بود. از پیروان ادیان و مذاهب انتظار می رود که به هیچ قیمتی از ایمان و اعتقاد خود دست برندارند. این امر به صرف عادت به عرصۀ فلسفه هم سرایت کرده است. و حال آنکه فیلسوف به هیچ کس تعهد نسپرده است که عقیده اش را تغییر ندهد.

به همین جهت راسل در مورد مسائل مختلف مواضع فکری خود را بارها تغییر داد. اما در جریان فعالیت فکری او عناصر ثابت مشخصی هم دیده می شود. طرز برخورد او با فلسفه و روش او در تحلیل همیشه دارای مشخصاتی بود که خود او «علمــــــی» می نامید، و آن عبارت بود از مبتنی کردن تحلیل بر قضیه ای که در آن حداقل شک موجود باشد، و نیز مراعات اصل معروف به «استرۀ اوکامی» که می گوید «تکثیر امور بدون ضرورت جایز نیست،» (یعنی که در اتخاذ فرض حد اعلای امساک را باید به کار برد؛) و بنا کردن بنیاد معرفت بر این اساس. همچنین شک در ذهن راسل همیشه حاکم بود؛ نه به معنی شکاکیت قدیم، که نفی امکان حصول معرفت بود، بل بدین معنی که راسل همیشه معرفت را برای احراز یقین مورد تشکیک قرار می داد.
راسل ادامه دهندۀ سنت فلسفۀ تجربی انگلیسی بود؛ و چه از حیث قدرت تجرید و تفکر، و چه از حیث قدرت و رسایی و زیبایی زبانش یکی از بزرگترین نمایندگان مکتب تجربی بود.

راسل ریاضیدان و فیلسوف بلندمرتبه ای بود که ریاضیات و فلسفه را از مرتبۀ بلندی که داشتند پایین کشید. بر این قیاس شاید بتوان گفت که وجود خود او به تناقضاتی که در ریاضیات و فلسفه کشف کرد بی شباهت نبود.

۱- «تاریخ فلسفۀ غرب،» مقدمه
۲- Introduction to Mathematical Philosophy, p.194.pjment
۳- «تاریخ فلسفۀ غرب،» فصل هجدهم.
۴- همان کتاب، همان فصل.
۵- همان کتاب، فصل سوم.
۶- همان کتاب، همان فصل.
۷- همان کتاب، مقدمه.
۸- Matematical Pholosophy, p. 118.
۹- Mysticism and Logic, p. 118.
۱۰- «تاریخ فلسفۀ غرب،» فصل سی و یکم.
۱۱- همان کتاب، مقدمه

این مقاله در ماهنامه قدیمی فرهنگ و زندگی منتشر شده است و اکنون در انسان‌شناسی و فرهنگ بازنشر می‌شود.